در این ویدئو می خوام بعضی از مفاهیمی که ممکنه در گذشته به اونها برخورده باشین
رو بازبینی کنم.
این اطلاعات زمانیکه می خوایم با سایر سیستم های عددی کار کنیم برامون مفید خواهد بود. خوب ما توی سیستم عددی خودمون ده رقم داریم.
اجازه بدین اونها رو بشمارم. اگر هیچ چیزی برای استفاده نداشته باشیم از نماد 0 برا نشون دادن این امر استفاده می کنیم. بعد از صفر اگر یک شیء داشته باشیم
از نماد 1 استفاده می کنیم. بذارین اینو اینجا بکشم. خوب پس اول هیچی و بعد اگر یک شیء داشته باشیم از نماد 1 استفاده می کنیم.
اگر دو تا شیء داشته باشیم از نماد 2 استفاده می کنیم و اگر سه تا شیء داشته باشیم از نماد 3 استفاده می کنیم. اجازه بدین کمی بیام پایین تر...
تا بتونین مطالب رو بهتر ببینین. اگر من چهار تا شیء داشته باشم از این نمادی که اینجاست استفاده می کنم
اگر پنج تا شیء داشته باشم از این نماد. اگر شش تا شیء داشته باشم از این نماد... بذارین اینطوری اینو بکشم... اگر شش تا شیء داشته باشم از آن نماد استفاده می کنم
اگر هفت تا شیء داشته باشم از اون نماد استفاده می کنم. می دونم ممکنه یک کم خسته کننده باشه اما
تمامی اینها یک نکته در خودشون دارند و برای درک این نکته باید این کارها رو انجام بدیم. اگر من هشت تا شیء داشته باشم از این نماد استفاده می کنم. و اگر نه تا شیء داشته باشم از
این نماد استفاده می کنم. و در نهایت اگر ده تا شیء داشته باشم... باید از چه نمادی استفاده کنم؟ من قبلا از ده تا رقم خودم استفاده کردم؛ توی مبنای ده ما قثط ده تا رقم داریم
بنابراین بعد از اتمام اونها باید از اونها مجددا برای ساخت اعداد جدید استفاده کنیم. بنابراین کاری که اینجا می کنیم معرفی روشی به نام سیستم مکانی هستش.
خوب اینجا توی عدد ده من یک دهگان و صفر تا یکان دارم
ما اصطلاحا میگیم که ای عدد یک در مکان دهگان قرار داره. یعنی در واقع ما اینجا
یه ده داریم و صفر تا یک که می شه 0+10.
اما ما مجبور نیستیم از ارقام موجود مجددا استفاده کنیم. می تونستیم نمادهای جدید ایجاد کنیم
شاید این صفرهای اینجا نماد جدیدمون بود یا شاید ام... یه نماد جدید درست می کردیم
در نتیجه می تونستیم برای هر کدوم از اعداد یک نماد داشته باشیم
می تونستیم مثلا از نماد ستاره برای عدد 10 استفاده کنیم. بعد می رفتیم سراغ عدد 11
که می شه برای اون هم یک نماد دیگه درست کرد
بنابراین... دو، سه، چهار، پنج، شش، هفت، هشت، نه، ده، یازده.
خوب یازده در سیستم عددی ما، ما می گیم این یک ده تایی
اجازه بدین اینطوری بنویسمش... یک دهگان و یک یکان
و خوب نتیجه می شه یک یک (11). خوب، می دونم یک کمی عجیبه
اما در واقع این عدد این تعداد از اشیاء رو نشون می ده (یعنی یازده تا شیء رو). اگر مبنای عددی ما یازده بود یا بهتره
بگم مبنای عددی ما دوازده بود می تونستیم برای این عدد (11) هم یک نماد داشته باشیم.
یعنی به جای استفاده مجدد از ارقام موجود عدد یازده برای خودش یک نماد منجصر به فرد داشت. شاید می شد از یه نماد مضحک برای نشون دادن عدد 11 استفاده کنیم
مثلا یک صورت خندان. کی می دونه نمادش چی می شد!!!
در ویدئوهای آینده مبناهای عددی دیگه ای رو معرفی می کنم که در اونها واقعا از یک سری نماد برای نشون دادن اعداد بزرگتر از 9 استفاده شده.
اما توی این ویدئو می خوام درباره شمارش
و نمادهایی که ممکنه استفاده کنیم فکر کنیم.
اگه من ارقام کمتری داشتم؛ در واقع اگر فقط دو رقم داشتم
چطور می تونستیم بشماریم؟ اگر تنها ارقامی داشتیم
صفر (0) و یک (1) چی می شد؟ می خوام در این ویدئو با هم ببینیم
چطور می شه اعداد رو در مبنای دو نمایش داد.
سیستم عددی سنتی مایک سیستم ده دهی است
ما ده تا رقم داریم از صفر تا نه.
اما چطور می شه در مبنای دو شمرد؟
خوب اگر هیچی نداشته باشیم ممکنه بگین
"هی، من هیچ شیئی ندارم می تونم از رقم صفر برای نشان دادنش استفاده کنم"
اگر یک شیء داشته باشم، هنوزم می تونم بگم
"هی، من یک شیء دارم..."؛ چون ما دو
رقم صفر و یک رو داریم. اجازه بدین یک کمی رسمی تر این قضیه رو بیان کنم.
ااین ارقام اینجا، در مبنای دو هستند؛ مبنای دو دو رقم داره صفر و یک.
بنابراین اگر من یک شیء داشته باشم می تونم هنوزم از رقم 1 برای نشان دادنش استفاده کنم
اما؛ یک دفعه می بینم دو تا شیء اینجا دارم،
و همون طور که گفتم ما به این دو رقم اینجا محدود هستیم و ارقام دیگه ای نداریم!!
بنابراین، چطوری می تونم این رو نشون بدم.
به جای مکان ده گان می تونیم یه جا برای دو گان درست کنم
و می دونم ممکنه این یه کمی غیر عادی به نظر برسه اما فکر می کنم
بعدا بهش عادت می کنید. بنابراین، اینجا در مبنای ده کفتیم یک دهگان و صفر تا یکان داریم.
در مبنای دو ما
می تونیم بگیم اینجا یک دو و صفر تا یک داریم
بگذارین اینطوری بگم. اینجا
ما یک دو و صفر تا یک داریم
می خوام مطمئن بشم شما این مثال اینجا رو کاملا درک کردین
در مبنای ده... اجازه بدین اعداد بزرگتری تو مبنای ده بنویسم...
خوب اگه عدد 256 رو در مبنای ده بنویسم
خوب، این عدد اینجا در مبنای ده است
این می گه دو تا صدتایی؛ خوب پس دو ضرب در صد
یا شاید بهتر باشه کلمه ها رو بنویسم تا اونها رو با نمادها اشتباه نگیرم
دو تا صدتایی به علاوه پنج صرب در... یا شاید بهتره بگم دو تا صد تایی
به علاوه پنج تا ده تایی... به علاوه شش تا یکی
اینطوری این عدد رو نمایش می دم؛ و ما می دونیم که
اگر دو رقم به سمت چپ بریم؛ به مرتبه صدگان می رسیم
و این مرتبه دهگان است و این هم یکان
و اگر با توان ها آشنایی داشته باشین می دونین که این مرتبه صدگان برابر با ده ضرب در ده هست
و این برابر با ده به توان یک یا فقط ده و
این یکی برابر با
ده به توان صفر یعنی یک هست.
یا، اگر بخوایم بهتر برحسب توان اینها رو بیان کنیم می تونیم بگیم اینجا
ده به توان دو هست؛ اینجا ده به توان یک
و اینجا ده به توان صفر
و اگه ما یک رقم دیگه هم اینجا اضافه کنیم
مرتبه مگانی اینجا می شه هزارتایی که برابر با
ده ضرب در ده ضرب در ده است یا ده به توان سه
ما در مبنای دو هم دقیقا همین کار رو انجام می دیم
اما به جای استفاده از ده، ما
از دو استفاده می کنیم. بنابراین؛ اینجا مکان دو هست
اینجا این بالا مکان دو هست و اینجا هم مکان یک
اگر ما ارقام دیگه ای هم اضافه کنیم...
در نتیجه در مبنای دو... اجازه بدین یک عدد رو در مبنای دو اینجا بنویسم
یادتون باشه، در مبنای دو فقط می تونیم از ارقام صفر و یک استفاده کنیم
در نتیجه در مبنای دو، ممکنه من عدد 1010 رو داشته باشم
خوب، اگه اینطوری به این عدد فکر کنیم که اگر این عدد در مبنای ده بود
به این مکان قسمت دهگان، به این صدگان و این یکی هزارگان می گفتیم
اما؛ این عدد در حال حاضر در مبنای دو هست. در نتیجه اجازه بدین کاملا واضح بگم.
ما فقط از دو تا عدد استفاده می کنیم. بنابراین در مبنای دو
این مکان اینجا هنوز هم مکان یکان ها است
اما اینجا مکان دو ها است
یادتون باشه در مبنای ده اینجا مکان ده تایی ها بود
اما حالا مکان دو تایی ها است
حالا اینجا؛ می تونین حدس بزنید
صدتایی ها برابر ده ضرب در ده بودند
وقتی ما در مبنای دو دو رقم به سمت چپ می ریم
به مکان دو ضرب در دو تایی ها می رسیم .
در واقع می شه گفت اینجا مکان چهارتایی ها است و اینجا هم مکان هشت تایی ها خواهد بود
بنابراین اگر بخواین در قالب مبنای دو به این قضیه فکر کنین
این عدد می شه یه دونه هشت تایی به علاوه صفر تا چهارتایی
به علاوه یه دوتایی به علاوه صفر تا یکی.
در نتیجه اگربخواین این عدد رو
در مبنای ده نمایش بدین می شه یم ضرب در هشت به علاوه یک ضرب در دو
به عبارت دیگه این عدد در مبنای ده می شه... اجازه بدین اینجا بنویسمش
در مبنای ده ای عدد می شه 2 + 8 که می شه 10
خوب اینم از معادل مبنای ده این عدد.
پس نمایش مبنای دوی این عدد رو هم یاد گرفتیم
...
اینطوری می شه این عدد رو در مبنای ده نمایش داد
حالا اجازه بدین ببینیم که آینا واقعا این مفاهیم رو درک کردیم یا نه
خوب این چند تا شیء اینجا رو توی مبنای دو بررسی کنیم
اگه فقط دو تا شیء داشته باشین می شه یه دو تایی به علاوه صفر تا یکی
حالا سه تا شیء می شه یه دوتایی به علاوه یک
اجازه بدین اینجا بنویسمش می شه یه دو تایی
به علاوه یک
بنابراین اگه بخوایم سه رو در مبنای دو نشون بدیم می شه این عدد
حالا اگه بیایم اینجا و بخوایم عدد چهار رو در مبنای دو نشون بدیم یه چهارتایی داریم
و صفر تا دو تایی و صفر تا یکی.
بنابراین حالا می ریم سراغ مکان چهارتایی ها
چون دیگه اینجا از تمام مکان هامون استفاده کردیم
اگه بخوایم اعداد دیگه ای رو نمایش بدیم باید یک رقم به سمت چپ اضافه کنیم
این کار رو در مبنای ده هم انجام می دیم؛ اما فرقش اینه که اینجا فقط باید از
ارقام صفر و یک استفاده کنیم
در نتیجه الان یک چهارتایی، صفر تا دوتایی و صفر تا یکی داریم
حالا وقتی مقدار عددمون یک واحد افزایش پیدا می کنه ما هم باید یک واحد به عدد مبنای دومون اضافه کنیم
خوب حالا ما یه چهارتایی، صفر تا دوتایی و یه دونه یکی داریم.
و این عدد برابر با 5 هست
در واقع این عدد معادل 5 در مبنای دو هست
یه چهارتایی و یه دو نه یکی. اگه بخواین این عدد رو به مبنای ده تبدیل کنین
می گین
این یه جهارتایی به علاوه صفر تا دو تایی و یه دونه یکی
در نتیجه اگر یه چهارتایی و یه یکی داشته باشیم می تونیم اون رو
با نماد 5 در مبنای ده نشون بدیم
ما نمی تونیم از نماد 5 در مبنای دو استفاده کنیم.
خوب اجازه بدین ادامه بدیم. حالا یه واحد دیگه به عددمون اضافه می کنیم.
چطور می شه این عدد رو در مبنای دو نمایش داد؟
ما یه چهارتایی
و بعد یه دو تایی و بعد
صفر تا یکی خواهیم داشت.
و اگه ادامه بدین می بینید که شمردن به این روش
در مبنای دو چقدر جالبه. و کم کم بهش عادت می کنین.
اینجا باید یک واحد دیگه به این عدد اضافه کنیم که در نتیجه یک دونه
یک هم بهش اضافه می شه.
حالا می رسیم به عدد هشت؛ خوب اینجا دیگه نمی تونیم
به هیشچ کدوم از این ارقامی که اینجا داریم چیزی اضافه کنیم
در نتیجه باید یک مکان جدید اضافه کنیم. ما باید به مکان هشت تایی ها بریم
بنابراین اینجا ما یه هشت تایی داریم
صفر تا چهارتایی، صفر تا دو تایی و صفر تا یکی.
این رقم اینجا ممکنه به نظرتون مکان هزاتایی ها بیاد
در واقع اگر از مبنای ده استفاده می کردیم اینجا مکان هزارتایی ها بود.
در مبنای دو این مکان نشان دهنده هشت تایی ها است.
اگه یک رقم به این عدد اضافه کنیم
می شه نه یعنی یه هشت تایی و یه دو نه یکی
که می شه 1001
من اینجا کار رو متوقف می کنم؛ جایی که ما در اون ده تا شیء داریم
در مبنای دو برای نشنون دادن ده می گیم یه هشت تایی و یه دو تایی داریم
بنابراین صفر تا چهارتایی، یه دونه دوتایی و صفر تا یکی
خوب این عدد اینحا معادل عدد ده در مبنای دو است
و این عدد ده در مبنای ده است
امیدوارم زیاد گیجتون نکنه.