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Kind: captions
Language: fr

00:00:00.000 --> 00:00:07.688
Dans cette vidéo, je vais revisiter
des idées acquises depuis la petite enfance.

00:00:07.688 --> 00:00:15.299
Je vais les présenter d'une façon
qui introduit les autres systèmes numériques.

00:00:15.299 --> 00:00:18.247
Notre système numérique habituel a 10 chiffres.

00:00:18.247 --> 00:00:21.843
Comptons. Si on a rien, on écrit 0.

00:00:21.843 --> 00:00:24.084
Si on a un objet, on écrit 1.

00:00:24.084 --> 00:00:31.713
Je vais faire les dessins correspondants.

00:00:31.713 --> 00:00:36.648
Si j'ai deux objets, j'utilise le chiffre 2.
Si j'en ai trois, j'utilise le chiffre 3.

00:00:36.648 --> 00:00:42.106
Si j'ai quatre objets, j'utilise le chiffre suivant.

00:00:42.106 --> 00:00:56.121
Voici le chiffre pour cinq, pour six, pour sept...

00:00:56.121 --> 00:00:59.032
Je sais que c'est fastidieux,
mais j'ai une raison d'aller jusque là.

00:00:59.032 --> 00:01:03.706
Si j'ai huit objets, j'utilise ce chiffre.

00:01:03.706 --> 00:01:10.029
Et celui-là pour neuf.

00:01:10.029 --> 00:01:16.667
Et maintenant, que faire ? Voici dix objets.

00:01:16.667 --> 00:01:24.036
J'ai déjà utilisé les dix chiffres dont je dispose (en base dix).

00:01:24.051 --> 00:01:30.698
Je suis obligé de réutiliser ces chiffres.
On fait appel au concept de dizaine.

00:01:30.698 --> 00:01:41.546
Pour décrire dix, j'écris 1 pour les dizaines et 0 pour les unités.

00:01:41.546 --> 00:01:45.898
Ce chiffre 1 est placé dans la rangée des dizaines et le chiffre 0 dans celle des unités,

00:01:45.898 --> 00:01:54.513
ça veut dire qu'on a 1 dizaine plus 0 unité.

00:01:55.512 --> 00:01:58.567
Il n'était pas indispensable de réutiliser les chiffres.

00:01:58.582 --> 00:02:02.974
Si nous avions créé un chiffre supplémentaire,

00:02:03.035 --> 00:02:06.982
nous aurions pu écrire le nombre dix sans réutiliser les premiers chiffres.

00:02:06.982 --> 00:02:13.231
Nous aurions pu utiliser par exemple une étoile pour désigner dix.

00:02:13.231 --> 00:02:17.021
Et encore un autre pour onze. Je vais vous montrer.

00:02:17.021 --> 00:02:21.946
Voici onze objets.

00:02:21.946 --> 00:02:26.619
Dans notre système numérique, on représente onze avec...

00:02:26.619 --> 00:02:35.071
une dizaine (j'écris 1) et une unité (j'écris un autre 1).

00:02:35.071 --> 00:02:41.367
Donc 11 signifie "1 dix + 1 unité".

00:02:43.059 --> 00:02:46.061
C'est ainsi qu'on représente le nombre d'objets ci-dessus.

00:02:46.415 --> 00:02:49.121
Si nous avions un système à 11 chiffres,

00:02:49.151 --> 00:02:51.813
ou même à 12 chiffres,
nous aurions un autre chiffre pour ceci.

00:02:51.813 --> 00:02:55.544
Au lieu de réutiliser nos dix chiffres, on aurait pu avoir un autre truc,

00:02:55.544 --> 00:02:59.464
un smiley, par exemple, pour représenter onze.

00:02:59.464 --> 00:03:07.206
Dans d'autres vidéos, je présenterai des systèmes numériques qui utilisent plus de dix chiffres.

00:03:07.206 --> 00:03:09.115
Dans cette vidéo, je veux qu'on réfléchisse

00:03:09.115 --> 00:03:14.439
à la manière de compter avec beaucoup moins de chiffres,

00:03:14.439 --> 00:03:17.798
En particulier, comment compterions-nous les objets

00:03:17.798 --> 00:03:19.530
si nous n'avions que deux chiffres à notre disposition ?

00:03:19.530 --> 00:03:23.973
0 et 1.

00:03:23.973 --> 00:03:27.457
Comment représenter des nombres en base deux ?

00:03:27.457 --> 00:03:30.695
Notre système numérique habituel est composé de dix chiffres

00:03:30.695 --> 00:03:33.907
qui vont de zéro à neuf (0-1-2-3-4-5-6-7-8-9).

00:03:33.907 --> 00:03:36.184
Comment compter en base deux (système binaire) ?

00:03:36.184 --> 00:03:38.531
Si vous avez zéro objet, vous continuez

00:03:38.531 --> 00:03:41.295
à utiliser le chiffre zéro.

00:03:41.295 --> 00:03:43.540
Si vous avez un objet, vous pouvez continuer à utiliser

00:03:43.540 --> 00:03:47.415
le chiffre 1, puisqu'il est autorisé.

00:03:47.415 --> 00:03:48.597
Soyons clairs.

00:03:48.597 --> 00:03:56.085
Dans un système binaire, les chiffres peuvent prendre la valeur 0 ou 1.

00:03:56.085 --> 00:03:58.477
Donc si j'ai un seul objet, je peux utiliser 1 pour le quantifier.

00:03:58.492 --> 00:04:02.115
Maintenant, j'ai deux objets,

00:04:02.123 --> 00:04:07.153
et je dispose uniquement de ces deux chiffres (0 et 1).

00:04:07.184 --> 00:04:09.844
Comment puis-je représenter le nombre deux ?

00:04:09.844 --> 00:04:13.415
Au lieu d'utiliser les dizaines, je peux représente les "paquets de deux".

00:04:13.415 --> 00:04:17.387
Peut-être cela vous semble-t-il déconcertant pour l'instant, mais ça va s'arranger.

00:04:17.417 --> 00:04:22.718
En base dix, pour représenter dix, on écrit "1 dix et 0 unité".

00:04:22.718 --> 00:04:25.722
De même, dans le système binaire,

00:04:25.722 --> 00:04:30.041
on représente deux en écrivant "1 deux et 0 unité".

00:04:30.041 --> 00:04:33.383
Reprenons. Ici, il est écrit

00:04:33.383 --> 00:04:40.712
"1 deux et 0 unité".

00:04:40.712 --> 00:04:42.595
Je veux être certain que vous compreniez l'analogie.

00:04:42.595 --> 00:04:45.149
En base 10... Je vais écrire un nombre plus grand.

00:04:45.149 --> 00:04:52.635
Voici le nombre 256 en base 10.

00:04:52.635 --> 00:04:55.263
Qu'est-ce que cela signifie, en base 10 ?

00:04:55.263 --> 00:04:58.777
On a 200, donc 2 centaines...

00:04:58.777 --> 00:05:03.337
Je vais l'écrire en lettres pour éviter les confusions.

00:05:03.337 --> 00:05:09.391
2 centaines,

00:05:09.391 --> 00:05:19.917
plus 5 dizaines, plus 6 unités.

00:05:19.917 --> 00:05:22.133
Voilà ce que ce nombre représente. On sait que

00:05:22.133 --> 00:05:28.408
ce chiffre correspond aux centaines,

00:05:28.408 --> 00:05:32.684
celui-ci aux dizaines et celui-là aux unités.

00:05:32.684 --> 00:05:36.290
Et 100 = 10 x 10 = 10 puissance 2

00:05:36.290 --> 00:05:39.964
10 = 10 puissance 1

00:05:39.964 --> 00:05:41.488
et on peut même dire que

00:05:41.488 --> 00:05:43.958
1 = 10 puissance 0

00:05:43.958 --> 00:05:46.650
Pour ceux qui connaissent l'opération "puissance",

00:05:46.650 --> 00:05:49.176
chaque rangée correspond à une puissance de 10,

00:05:49.176 --> 00:05:52.209
à gauche 10^2, au milieu 10^1, à droite 10^0.

00:05:52.209 --> 00:05:53.355
Si on avait un chiffre de plus à gauche,

00:05:53.355 --> 00:05:55.055
il correspondrait aux milliers :

00:05:55.055 --> 00:05:56.848
10 x 10 x 10 = 10^3.

00:05:56.848 --> 00:05:58.871
On fait exactement la même chose en base deux.

00:05:58.871 --> 00:06:00.755
Mais au lieu d'utiliser les dizaines,

00:06:00.755 --> 00:06:03.407
on utilise les "deuxaines", les paquets de deux.

00:06:03.407 --> 00:06:06.580
Voici le chiffre correspondant aux deux, et celui des unités.

00:06:06.580 --> 00:06:09.507
Pour clarifier,

00:06:09.507 --> 00:06:13.733
prenons un exemple de nombre plus grand.

00:06:13.733 --> 00:06:17.356
Souvenez-vous qu'en binaire,
vous ne pouvez utiliser que deux chiffres : 0 et 1

00:06:17.356 --> 00:06:22.315
Voici le nombre binaire "1010".

00:06:22.315 --> 00:06:25.608
Si c'était écrit en base dix,

00:06:25.608 --> 00:06:29.167
nous aurions là des dizaines, des centaines et des milliers.

00:06:29.167 --> 00:06:34.184
Mais ce nombre est écrit en base deux.

00:06:35.435 --> 00:06:37.928
Ce chiffre correspond aux unités,

00:06:37.928 --> 00:06:40.731
celui-ci aux paquets de deux

00:06:40.731 --> 00:06:42.815
(et non aux dizaines comme en base 10).

00:06:42.815 --> 00:06:44.346
Ce chiffre est le nombre de paquets de deux.

00:06:44.346 --> 00:06:47.577
Le suivant... peut-être avez-vous deviné ?

00:06:47.577 --> 00:06:49.615
On avait des centaines parce que 10 x 10 = 100.

00:06:49.615 --> 00:06:53.252
En binaire, ce chiffre correspond

00:06:53.252 --> 00:06:55.760
à 2 x 2 = 4.

00:06:55.760 --> 00:07:00.248
C'est le nombre de paquets de quatre.

00:07:00.248 --> 00:07:04.018
Et ici le nombre de paquets de huit.

00:07:04.018 --> 00:07:06.662
Donc, en binaire, ce nombre représente

00:07:06.662 --> 00:07:22.532
1 huit + 0 quatre + 1 deux + 0 unités

00:07:22.613 --> 00:07:26.751
L'équivalent en base dix est donc

00:07:26.751 --> 00:07:30.134
1x8 + 1x2

00:07:30.149 --> 00:07:34.562
Je vais l'écrire ici.

00:07:34.562 --> 00:07:39.173
En base dix, c'est 8+2 = 10.

00:07:39.173 --> 00:07:43.941
"1010" est donc la représentation

00:07:43.941 --> 00:07:47.517
du nombre dix, du compte de dix objets,

00:07:47.517 --> 00:07:50.152
en base deux.

00:07:50.152 --> 00:07:53.763
En base dix, le même nombre est représenté par "10".

00:07:53.763 --> 00:07:56.334
Continuons pour être certain que tout le monde comprenne.

00:07:56.334 --> 00:08:01.256
Revenons au comptage en binaire.

00:08:01.256 --> 00:08:04.708
Si vous avez 2 objets, il faut écrire 1 deux et 0 unité.

00:08:04.708 --> 00:08:08.795
Pour 3 objets, 1 deux + 1 unité.

00:08:08.795 --> 00:08:12.992
Je vais l'écrire : 1 deux + 1 unité.

00:08:13.031 --> 00:08:18.085
Voilà comment on écrit trois en base deux.

00:08:18.085 --> 00:08:23.967
Pour le nombre suivant nous avons: 1 quatre...

00:08:23.967 --> 00:08:25.855
0 deux et 0 unité.

00:08:25.871 --> 00:08:27.924
Cette écriture utilise la rangée des paquets de quatre,

00:08:27.924 --> 00:08:29.948
parce qu'on a dépassé le maximum des rangées précédentes.

00:08:29.948 --> 00:08:32.402
Pour continuer à compter, il faut créer la rangée suivante

00:08:32.402 --> 00:08:34.333
tout comme nous l'aurions fait en base dix.

00:08:34.333 --> 00:08:35.971
Simplement, nous ne pouvons utiliser que 0 et 1.

00:08:35.971 --> 00:08:41.008
On a 1 quatre + 0 deux + 0 unité.

00:08:41.008 --> 00:08:44.069
Quand on passe au nombre suivant,

00:08:44.069 --> 00:08:49.915
on a 1 quatre + 0 deux + 1 unité.

00:08:49.915 --> 00:08:53.215
Ce compte d'objets, ici,

00:08:53.215 --> 00:08:59.120
ce nombre s'écrit "101" en base deux.

00:08:59.120 --> 00:09:02.282
Pour le convertir en base dix,

00:09:02.282 --> 00:09:08.146
il suffit de lire 1 quatre, 0 deux, et 1 unité.

00:09:08.146 --> 00:09:11.444
1x4 + 0x2 + 1x1, ça fait

00:09:11.444 --> 00:09:14.082
4+1 = 5 en base dix.

00:09:14.082 --> 00:09:16.992
Ce symbole 5 n'existe pas en base deux.

00:09:16.992 --> 00:09:19.602
Continuons. Ajoutons encore 1.

00:09:19.602 --> 00:09:21.590
Comment représenter le nombre suivant en base deux ?

00:09:21.590 --> 00:09:23.367
On va donc avoir 1 quatre

00:09:23.367 --> 00:09:29.193
puis 1 deux et 0 unité.

00:09:29.257 --> 00:09:31.016
Et on continue comme ça.

00:09:31.016 --> 00:09:34.133
C'est amusant de compter en binaire,
l'habitude vient vite.

00:09:34.133 --> 00:09:36.587
Ajoutons encore 1. On obtient

00:09:36.587 --> 00:09:38.610
"111" (qui correspond à 4+2+1 = 7)

00:09:38.610 --> 00:09:40.125
Pour écrire huit, il nous faut une rangée de plus,

00:09:40.125 --> 00:09:42.025
car les trois premières sont au maximum.

00:09:42.025 --> 00:09:45.930
La nouvelle rangée correspond aux paquets de huit.

00:09:45.930 --> 00:09:50.723
On a 1 huit, 0 quatre, 0 deux, 0 unité.

00:09:50.723 --> 00:09:52.983
On pourrait croire que c'est le nombre mille.

00:09:52.983 --> 00:09:55.475
Ce serait mille si on était en base dix.

00:09:55.475 --> 00:10:02.023
En base deux, c'est le compte des objets ci-dessus.
C'est le nombre huit en base deux.

00:10:02.023 --> 00:10:04.237
Passons au nombre suivant.

00:10:04.237 --> 00:10:07.064
On a 1 huit et 1 unité.

00:10:07.064 --> 00:10:10.181
Il s'écrit "1001".

00:10:10.181 --> 00:10:15.026
Je vais terminer avec le nombre dix.

00:10:15.026 --> 00:10:20.485
En binaire, il correspond à 1 huit et... il faut encore 1 deux.

00:10:20.485 --> 00:10:23.648
J'écris donc 0 quatre, 1 deux et 0 unité.

00:10:23.648 --> 00:10:28.029
Voici donc comment on écrit dix en base deux.

00:10:28.029 --> 00:10:30.537
Bien sûr, dix s'écrit 10 en base dix.

00:10:30.583 --> 00:10:34.000
Pour comprendre un nombre,
il faut donc savoir dans quelle base il est écrit.