Dans cette vidéo, je vais revisiter des idées acquises depuis la petite enfance.
Je vais les présenter d'une façon qui introduit les autres systèmes numériques.
Notre système numérique habituel a 10 chiffres.
Comptons. Si on a rien, on écrit 0.
Si on a un objet, on écrit 1.
Je vais faire les dessins correspondants.
Si j'ai deux objets, j'utilise le chiffre 2. Si j'en ai trois, j'utilise le chiffre 3.
Si j'ai quatre objets, j'utilise le chiffre suivant.
Voici le chiffre pour cinq, pour six, pour sept...
Je sais que c'est fastidieux, mais j'ai une raison d'aller jusque là.
Si j'ai huit objets, j'utilise ce chiffre.
Et celui-là pour neuf.
Et maintenant, que faire ? Voici dix objets.
J'ai déjà utilisé les dix chiffres dont je dispose (en base dix).
Je suis obligé de réutiliser ces chiffres. On fait appel au concept de dizaine.
Pour décrire dix, j'écris 1 pour les dizaines et 0 pour les unités.
Ce chiffre 1 est placé dans la rangée des dizaines et le chiffre 0 dans celle des unités,
ça veut dire qu'on a 1 dizaine plus 0 unité.
Il n'était pas indispensable de réutiliser les chiffres.
Si nous avions créé un chiffre supplémentaire,
nous aurions pu écrire le nombre dix sans réutiliser les premiers chiffres.
Nous aurions pu utiliser par exemple une étoile pour désigner dix.
Et encore un autre pour onze. Je vais vous montrer.
Voici onze objets.
Dans notre système numérique, on représente onze avec...
une dizaine (j'écris 1) et une unité (j'écris un autre 1).
Donc 11 signifie "1 dix + 1 unité".
C'est ainsi qu'on représente le nombre d'objets ci-dessus.
Si nous avions un système à 11 chiffres,
ou même à 12 chiffres, nous aurions un autre chiffre pour ceci.
Au lieu de réutiliser nos dix chiffres, on aurait pu avoir un autre truc,
un smiley, par exemple, pour représenter onze.
Dans d'autres vidéos, je présenterai des systèmes numériques qui utilisent plus de dix chiffres.
Dans cette vidéo, je veux qu'on réfléchisse
à la manière de compter avec beaucoup moins de chiffres,
En particulier, comment compterions-nous les objets
si nous n'avions que deux chiffres à notre disposition ?
0 et 1.
Comment représenter des nombres en base deux ?
Notre système numérique habituel est composé de dix chiffres
qui vont de zéro à neuf (0-1-2-3-4-5-6-7-8-9).
Comment compter en base deux (système binaire) ?
Si vous avez zéro objet, vous continuez
à utiliser le chiffre zéro.
Si vous avez un objet, vous pouvez continuer à utiliser
le chiffre 1, puisqu'il est autorisé.
Soyons clairs.
Dans un système binaire, les chiffres peuvent prendre la valeur 0 ou 1.
Donc si j'ai un seul objet, je peux utiliser 1 pour le quantifier.
Maintenant, j'ai deux objets,
et je dispose uniquement de ces deux chiffres (0 et 1).
Comment puis-je représenter le nombre deux ?
Au lieu d'utiliser les dizaines, je peux représente les "paquets de deux".
Peut-être cela vous semble-t-il déconcertant pour l'instant, mais ça va s'arranger.
En base dix, pour représenter dix, on écrit "1 dix et 0 unité".
De même, dans le système binaire,
on représente deux en écrivant "1 deux et 0 unité".
Reprenons. Ici, il est écrit
"1 deux et 0 unité".
Je veux être certain que vous compreniez l'analogie.
En base 10... Je vais écrire un nombre plus grand.
Voici le nombre 256 en base 10.
Qu'est-ce que cela signifie, en base 10 ?
On a 200, donc 2 centaines...
Je vais l'écrire en lettres pour éviter les confusions.
2 centaines,
plus 5 dizaines, plus 6 unités.
Voilà ce que ce nombre représente. On sait que
ce chiffre correspond aux centaines,
celui-ci aux dizaines et celui-là aux unités.
Et 100 = 10 x 10 = 10 puissance 2
10 = 10 puissance 1
et on peut même dire que
1 = 10 puissance 0
Pour ceux qui connaissent l'opération "puissance",
chaque rangée correspond à une puissance de 10,
à gauche 10^2, au milieu 10^1, à droite 10^0.
Si on avait un chiffre de plus à gauche,
il correspondrait aux milliers :
10 x 10 x 10 = 10^3.
On fait exactement la même chose en base deux.
Mais au lieu d'utiliser les dizaines,
on utilise les "deuxaines", les paquets de deux.
Voici le chiffre correspondant aux deux, et celui des unités.
Pour clarifier,
prenons un exemple de nombre plus grand.
Souvenez-vous qu'en binaire, vous ne pouvez utiliser que deux chiffres : 0 et 1
Voici le nombre binaire "1010".
Si c'était écrit en base dix,
nous aurions là des dizaines, des centaines et des milliers.
Mais ce nombre est écrit en base deux.
Ce chiffre correspond aux unités,
celui-ci aux paquets de deux
(et non aux dizaines comme en base 10).
Ce chiffre est le nombre de paquets de deux.
Le suivant... peut-être avez-vous deviné ?
On avait des centaines parce que 10 x 10 = 100.
En binaire, ce chiffre correspond
à 2 x 2 = 4.
C'est le nombre de paquets de quatre.
Et ici le nombre de paquets de huit.
Donc, en binaire, ce nombre représente
1 huit + 0 quatre + 1 deux + 0 unités
L'équivalent en base dix est donc
1x8 + 1x2
Je vais l'écrire ici.
En base dix, c'est 8+2 = 10.
"1010" est donc la représentation
du nombre dix, du compte de dix objets,
en base deux.
En base dix, le même nombre est représenté par "10".
Continuons pour être certain que tout le monde comprenne.
Revenons au comptage en binaire.
Si vous avez 2 objets, il faut écrire 1 deux et 0 unité.
Pour 3 objets, 1 deux + 1 unité.
Je vais l'écrire : 1 deux + 1 unité.
Voilà comment on écrit trois en base deux.
Pour le nombre suivant nous avons: 1 quatre...
0 deux et 0 unité.
Cette écriture utilise la rangée des paquets de quatre,
parce qu'on a dépassé le maximum des rangées précédentes.
Pour continuer à compter, il faut créer la rangée suivante
tout comme nous l'aurions fait en base dix.
Simplement, nous ne pouvons utiliser que 0 et 1.
On a 1 quatre + 0 deux + 0 unité.
Quand on passe au nombre suivant,
on a 1 quatre + 0 deux + 1 unité.
Ce compte d'objets, ici,
ce nombre s'écrit "101" en base deux.
Pour le convertir en base dix,
il suffit de lire 1 quatre, 0 deux, et 1 unité.
1x4 + 0x2 + 1x1, ça fait
4+1 = 5 en base dix.
Ce symbole 5 n'existe pas en base deux.
Continuons. Ajoutons encore 1.
Comment représenter le nombre suivant en base deux ?
On va donc avoir 1 quatre
puis 1 deux et 0 unité.
Et on continue comme ça.
C'est amusant de compter en binaire, l'habitude vient vite.
Ajoutons encore 1. On obtient
"111" (qui correspond à 4+2+1 = 7)
Pour écrire huit, il nous faut une rangée de plus,
car les trois premières sont au maximum.
La nouvelle rangée correspond aux paquets de huit.
On a 1 huit, 0 quatre, 0 deux, 0 unité.
On pourrait croire que c'est le nombre mille.
Ce serait mille si on était en base dix.
En base deux, c'est le compte des objets ci-dessus. C'est le nombre huit en base deux.
Passons au nombre suivant.
On a 1 huit et 1 unité.
Il s'écrit "1001".
Je vais terminer avec le nombre dix.
En binaire, il correspond à 1 huit et... il faut encore 1 deux.
J'écris donc 0 quatre, 1 deux et 0 unité.
Voici donc comment on écrit dix en base deux.
Bien sûr, dix s'écrit 10 en base dix.
Pour comprendre un nombre, il faut donc savoir dans quelle base il est écrit.