이번 강의에서는, 여러분이 서너 살 때부터 당연한 것으로 받아들이던 것을
새로운 시각으로 접근할수 있도록 환기시키려 합니다
우리가 쓰는 십진수 체계와 다른 종류의 수 체계를 이해하기 위해서죠.
먼저, 셈을 한번 해 보겠습니다. 아무것도 없는 상태는 0 입니다. 만약 하나가 있으면
1 이라는 기호를 사용합니다. 그려보면 없음은 0, 하나는 1 이죠.
만약 둘을 가졌다면 2 라는 기호를 씁니다. 그리고 셋을 가졌다면, 3 이라는 기호를 쓰겠지요.
잘 보이게 좀 화면을 내리고요 ... 넷을 가졌다면 여기 이런 기호를 쓸거예요
그리고 다섯을 가지면, 이 기호를 써야죠. 여섯을 가진다면 이렇게 그려야 하고요...
일곱을 가진다면, 저 기호를 사용할 겁니다 좀 지루하단 거 저도 알아요 ...
하지만 이건 중요합니다. 만약 여덟, 여덟이라면 이걸 써야죠. 그리고 아홉이면
이걸 쓸거예요. 그리고 열번째... 이번엔 뭘 써야할까요? 우린 이미 열가지 기호를 다 써버렸어요. 십진수엔 열가지 기호밖엔 없죠.
그래서 이제는 그 기호들을 재활용해야 하죠. 여기서 나오는 개념이 "숫자의 자리"라는 거예요
여러분도 알다시피, 여기 있는건 1개의 10과 0개의 1 이죠. 그래서 우린 이걸 "1개의 10과 0개의 1"이라고 말할수 있어요.
그래서 우리는 이 "1"을 10의 자리에 있다고 해서 말그대로 "십의 자리수" 라고 말하죠
그래서 이건 1개의 10에 0개의 1을 더한거죠 10이라는 기호는 이걸 말하는 겁니다.
하지만 굳이 숫자를 재활용해야만 하는 이유는 없죠. 사실 이걸 표시하기위한 새로운 기호를 만들수도 있어요
뭐 굳이 10을 대신할 기호를 만들어 보자면 실제로 새로운 숫자를 만들어버릴수도 있다는 말이예요.
모두들 알다시피, 여기 이 모든 숫자들은 각자의 기호를 가지고 있죠. 그러니까 기존 숫자를 다시 쓰는 대신
아마도 이렇게 만들면... 열개를 의미하기위한 ☆이 생기죠. 그리고 열한개를 나타내기 위해선
같은 방법으로 새로운 기호를 만들어 버릴수도 있죠. 그렇게 열한번째를 살펴보죠.
그러니까.. 둘,셋,넷,다섯,여섯,일곱,여덟,아홉,열,열하나
일단 우리가 이미 사용하는 수 체계에선, 이걸 1개의 10이라고 하죠, 1개의 10이라고요.
이렇게 적어보도록 하죠... 1개의 10. 그래서 이건 1개의 10과 1개의 1이 되는 겁니다.
이게 1개의 1이란 거예요. 그래서 이건 (1개의 10) + (1개의 1)이죠. 이상하게 보이긴 하네요
기존의 방법에선, "11"이 바로 이 수를 나타내고 있죠. 하지만 만약 우리가 11진수..아니 12진수를 사용한다면
우리는 아마도 이 수를 나타내기위해 기존의 숫자들을 재활용하는 대신
또하나의 기호를 이용해 표시할 수 있을겁니다. 좀 별나게 생긴 기호일 수도 있겟군요.
어쩌면 스마일 그림일지도 모르겟네요. 어떤 기호든 상관없으니까요. 어차피 앞으로
다른 강의에서는 이미 사용되고있는 높은 진수체계의 수체계를
소개시켜 드릴거예요. 하지만 이번 강의에선
우리가 어떻게 셈을 하는지, 만약 더 적은 갯수의 기호밖에 없다면
어떤 기호를 사용할지, 또 간략하게나마 어떻게 우리가
2개의 기호만으로 셈을 할지 - 만약 우리가
0과 1밖엔 사용할수 없다면에 대해 공부할 겁니다. 한번 같이 생각해 보죠
이진수 체계에선 어떻게 셈을 할지.
일단, 우리의 전통적인 수체계에선 십진수가 사용됩니다.
그래서 우린 열개의 숫자를 가졌죠. - 0부터 9까지요.
그렇다면 2진수는 어떨까요?
만약 하나도 없다면, 아마도 이렇게 말하겠죠.
"난 아무것도 없어. 난 0이라는 기호를 쓸거야"
하나가 있다면, 그래도 이렇게 말할 수 있습니다.
"난 1을 가졌어"... 왜냐하면
우리는 숫자 0과 1을 가졌으니까요. 그럼 확실히 알아보도록 하죠.
여기 숫자들이 있죠, 이진수니까, 0과 1이 되겟군요.
그래서, 하나를 가지면, 1이라는 기호를 사용할 수 있습니다.
하지만 만약 여기 이렇게 둘을 가지게 되면,
우린 이렇게 말하죠 "어 숫자가 더 없네..." 왜냐면 숫자가 두개밖엔 없으니까요.
그럼 두개는 어떻게 나타낼까요?
"십"의 자리수를 만드는 대신 "둘"의 자리수를 만들수도 있겠네요.
제가 보기에도 좀 직관적이지 못하긴 하지만 그래도 여러분은
이제 조금은 익숙할 거예요. 여기 십진수에선, 1개의 10과 0개의 1이라고 했었죠.
그래서 이진수에선, 이렇게 할수도 있겠죠.
한개의 둘... "1개의 2"와 "0개의 1"
다시한번 확실히 하자면,
"1개의 2" 와 "0개의 1" 이죠
이걸 잘 이해 하셔야 해요
십진수 체계에선... 10진수의 큰 수를 적어보도록 하죠.
10진수 체계의 256이라는 숫자를 적어보면...
이건 십진수의 기호예요. 이건 무엇을 의미할까요?
이건 200을 의미해요. 2×100이라는거죠
...아무래도 단어로 적는것이 헷갈리지 않겟군요.
이백 더하기 5×...아니 이렇게 말해야겠군요 이백 더하기
5개의 10... 그러니까 2백, 더하기 5개의 십, 더하기 6개의 하나죠
이게 제가 말하고자하는 숫자죠. 우리가 잘 알고있는 방법에선
왼쪽으로 두칸 가면 이건 100의 자리이고,
이건 10의 자리이고, 이게 1의 자리이죠
달리 말하자면, 이건 10의 10배과도 같은거예요
그리고 이건 10의 1배과도 같은거죠
그리고 마지막 1의 자리수는
10의 0승이라고 할수 있겠군요
승수로 말하자면,
이건 10의 2승이고, 이건 10의 1승의 자리이죠
마지막 이건 10의 0승의 자리가 되겠군요.
그리고 여기에다 새로운 자리를 추가하자면,
1000의 자리가 되겠죠, 아마도
10×10×10이 될테구요
이진수 체계 또한 이와 똑같은 방법을 사용합니다.
그저 10을 사용하는대신
2를 사용 할 뿐이죠. 그래서 이게 2의 자리인 겁니다
이게 바로 2의 자리라는거예요. 그리고 이건 1의 자리이죠
자릿수가 늘어난다면... 한번 해볼게요
그러니까 2진수에서... 2진수 숫자를 한번 적어보도록 하죠
2진수에선 0과 1만을 사용할 수 있다는 걸 기억하셔야 해요
그래서, 2진수에선, 아마도 1010이라는 수를 만들 수 있겟네요
만약에 이걸 십진수로 생각한다면
이걸 10의 자리로, 100의 자리로, 1000의 자리로 읽을지도 모르지요
하지만, 사실 이건 2진수입니다. 한번 알아보죠
여기선 단 두개의 숫자만 사용합니다. 그래서, 2진수에선
바로 이것은 1의 자리이고
이건 바로 2의 자리가 되겠지요
십진수에선 10의 자릿수가 올 자리이지요. 하지만
이건 2의 자리예요
그래서, 이런 식으로도 유추할 수 있겠지요
100은 10×10 이었죠
그렇다면 2진수에서 왼쪽으로 두번째 자리는
아마도 2×2의 자리가 되겠지요
그래서 4의 자리가 되는 겁니다. 그리고 여기는 8의 자리가 되는 거지요
결론적으로, 이런식으로 이진수를 셀 수 있다면
이것은 1개의 8과, 0개의 4와
1개의 2와, 0개의 1의 합이라고 할 수 있지요
그래서 만약 10진수 체계로 이것과 정확히 같은 갯수를
표현하고자 한다면 1개의 8과 1개의 2의 합이므로
10진수 체계에선... 한번 여기 적어보죠
10진수로는 8더하기 2, 그러니깐 10이 되겠군요
네, 이게 10진수 숫자입니다. 이게 바로
여기있는 이 큰 수를 - 10개를
2진수로 표현하는 방법입니다.
이쪽은 10진수로 표현한 숫자이지요
그럼 계속하도록 하죠, 확실히 알수 있도록 확인해야 하기 위해서죠
여기 이 많은 것들은, 2진수로 해보도록 하지요.
만약 두개를 가졌다면 1개의 2와 0개의 1일테지요
그래서 3개는 1개의 2와 1개의 1인 겁니다
여기 설명할게요. 이렇게 1개의 2 더하기
1개의 1인거예요
그래서 이게 2진수의 셋인 겁니다.
여기로 넘어와보면, 일단 1개의 4가 있구요
0개의 2와 0개의 1이 있네요.
그래서 이번엔 4의 자릿수가 필요합니다.
4의 자릿수만 있으면 충분하겠군요.
더 하자면, 더 많은 자릿수를 만들어버리면 됩니다
10진수를 쓸때와 똑같지만, 그저
0과 1만을 쓰는게 다를 뿐이죠
어쨌든, 여긴 1개의 4와, 0개의 2와, 0개의 1입니다.
그리고 여기에 1을 더하자면, 하나를 더하는 거죠
결과적으론 1개의 4와, 0개의 2와, 1개의 1이 되었군요
솔직히 이것도 좀 많긴 하군요
2진수에선 확실히 큰 수처럼 보이긴 하죠. 여긴 4의 자리이고
1개의 4와 1개의 1입니다. 이걸 10진수로
비꾼다면 이렇게 말하겠죠
"1개의 4, 0개의 2, 1개의 1"
그래서 만약 4와 1을 가졌다면
10진수의 5를 나타내는게 되는 겁니다. 하지만
이 기호는 2진수엔 없는 숫자죠
이번엔 이걸 해보죠. 그러니까, 하나를 더하면 되는 거예요
그럼 2진수로 어떻게 표현할까요?
분명히, 여긴 1개의 4와
1개의 2가 있고요
0개의 1이 되겠군요
이렇게 계속... 이렇게 숫자만 계속 세는것도
웃기지만, 이건 중요하니 계속해야 해요
어쨌든, 이번에도 1을 더하면 되요
그래서 1,1,1이 되죠
그리고 8이 되면, 이젠
이 자릿수 안에선 더이상 더할 공간이 없으니
새로운 자릿수를 만들어야 하죠. 그래서
8의 자리가 생깁니다. 그러니까 여긴 1개의 8과
0개의 4, 0개의 2, 0개의 1이군요
이건 마치 "천"이라는 수처럼 보이지만
10진수에서만 그렇다는 것을 아실 거예요
하지만 2진수에선 여기 이것들이죠. 이 여덟개를 2진수로 표현한 거예요
그렇다면 또다시 하나를 더해보죠
이 숫자들을 보면, 1개의 8과, 1개의 1이 되겠군요
그래서 1001이 되는 겁니다
그리고 이까지만 할게요. 10개를 2진수로
표현하자면, 1개의 8과 1개의 2가 필요할테죠
여기 0개의 4와, 1개의 2와, 0개의 1이면
자. 이게 바로 2진수의 "열 개"입니다
이건 10진수의 "열 개"이구요
잘 이해하셨기를 바랍니다